数学I <2007年冬 / 水曜1限(9:00-10:30) / 723教室 / 文科1・2年>

シラバス

• 授業の目標と概要： 解析学（微分と積分）の概念と方法について学ぶ．
  　現象を，いろいろな関数を用いて表現したり，微分積分を含んだ方程式で記述することは， 自然科学において確立した方法である．現象を理解するために，それに現れる複数の変数間 の関係を規定することは基本的であり，文科生が将来進む，経済学など 自然科学以外の多く の分野においても，解析学の方法は有効に利用されている．
  　高等学校では多項式の微分を学んだが，この講義ではそれを発展させてより多くの関数 （分数関数，三角関数，指数関数，対数関数など）の微分，合成関数の微分やテーラー展開 による関数の表示などを学習する．さらに，２変数関数f(x,y)の偏微分について学ぶ． また，微分法の逆としての不定積分の計算法を学び，定積分の計算に応用する．
• 授業計画： １変数関数の微分と積分，および多変数関数（とくに２変数関数） の偏微分の考え方の習得を目標とする．具体的項目は以下の通り．
  • I ：　微分法
    0. 数と数列 / 1. 関数と極限 / 2. 導関数 / 3. 三角関数の導関数 / 4. 逆関数とその導関数 / 5. 対数関数と指数関数の導関数 / (曲線の媒介変数表示)
  • II：平均値の定理とその応用
    6. 平均値の定理 / 7. 関数の増減と極値 / 8. 不定形の極限 / 9. テーラーの定理 / 10. 関数の多項式近似 / 11. 関数の凹凸
  • III：定積分
    12. 定積分 / 13. 面積 / 14. 置換積分と部分積分 / 15. いろいろな関数の積分 / 16. 特異積分と無限積分 / (数式処理ソフトの利用)
  • IV：定積分の応用
    17. 面積 / 18. 曲線の長さ / 19. 回転体の体積と表面積 / (微分方程式) / (定積分の近似計算)
  • V：偏微分
    20. 2変数関数と曲面 / 21. 最大最小の問題
• 教科書：基本的には，次の本の内容に沿って講義を行う．
  
  • 寺田文行，新微分積分，サイエンス社 (ISBN: 4-7819-0139-5)，1979年，1155円
• 参考書：
  • 寺田文行，演習微分積分，サイエンス社，1975年，1529円
  • 小林昭七，微分積分読本（１変数），裳華房，2000年，2415円
  • 小林昭七，微分積分読本（多変数），裳華房，2001年，2415円

授業記録(配布物等)

• 第1回：10月10日
• 授業の説明：教科書の項目に沿って授業する．出席は毎回とるが，成績への還元は少ない．成績は，レポート（中間試験代わり）30％，期末試験：60%，平常点（演習，成績）：10％が目安．
• 0．数と数列：自然数，整数，有理数，実数，循環小数，数列，収束，極限値，発散，振動，コーシー列，級数，部分和，等比級数の無限和．（もう少し進みたかった…）
• 第2回：10月17日
• 0．数と数列(続き)：循環小数．
• 1. 関数と極限：関数，定義域，値域，0/0の不定形，関数の極限，はさみうちの定理，右（左）側極限，連続．
• 2. 導関数：微分係数と導関数の定義，記号の意味．
• 注意（出席の取り扱い）：出席点は，8割以上出席した人には，一律10点程度（レポートや期末試験の，（全体の）出来不出来を考慮して決めます）を付けます．それ以外は，考慮しません．
• 第3回：10月24日
• 2. 導関数：積商の微分，合成関数の微分，xⁿの導関数(nは任意の整数)．
• 3. 三角関数とその導関数：sin x / x の極限値，sin x，cos xの導関数
• 問題集を用意しました=>演習問題(第1節〜第11節)PDFファイル．授業中に，演習をする時間がとれませんので，添削を希望する学生は，A4のレポート用紙などに解いて，斉藤に渡して下さい．←1月16日の項を参照のこと．
• 第4回：10月31日
• 4. 逆関数とその導関数：区間，単調な関数，逆関数，逆関数の導関数，xⁿの導関数(nは任意の有理数)，逆三角関数とその導関数．
• 5. 対数関数と指数関数：自然対数の底 e の導入．
• 注意：黒板に描いた y = sin^-1x のグラフに不備がありましたので，来週訂正します．
• 第5回：11月7日
• 5. 対数関数と指数関数：指数関数と対数関数の微分公式．対数微分法．
• 6. 平均値の定理：連続関数と最大値最小値，ロルの定理，平均値の定理，コーシーの平均値の定理
• 7. 関数の増減と極値：（狭義単調）増加・減少，極大・極小値
• 第6回：11月14日
• 7. 関数の増減と極値：不等式，最大最小
• 8．不定形の極限値：ロピタルの定理
• 9. テーラーの定理：高次導関数，ライプニッツの定理
• 予告．来週の授業で，レポート問題を出します．
• 第7回：11月21日
• 9. テーラーの定理：マクローリンの定理とテーラーの定理
• 10. 関数の多項式近似：e^x，sin x，cos x，(1+x)^aの多項式近似
• 11. 関数の凹凸(上に凸，下に凸，第2次導関数との関係，例)
• レポート:問題（ ここからダウンロード）（締切：12月7日）
• 第8回：11月28日
• 12. 定積分：原始関数，不定積分
• 13. 面積：定積分と面積
• 14. 置換積分と部分積分：置換積分
• 第9回：12月5日
• 14. 置換積分と部分積分：置換積分の続き，部分積分
• 15. いろいろな関数の積分：部分分数分解，部分積分の応用
• 第10回：12月12日
• 15. いろいろな関数の積分：三角関数の有理式，無理関数などの積分
• 16. 特異積分と無限積分：特異積分
• 第11回：12月19日
• 出張のため休講
• 第12回：1月9日
• 16. 特異積分と無限積分：無限積分
• 17. 面積（つづき）
• 18. 曲線の長さ
• 19. 体積
• 20. 2変数関数と曲面：2変数関数，曲面，偏微分
• レポートの解答例: ここからダウンロード
• 数学Iのレポート未提出者へ：レポートは1月16日の授業終了時までなら受け取ります．ただし，期限内に提出した人と同じようには評価できません．（どの程度成績に反映させるかは，試験の出来を考慮した上で判断します）
• 第13回：1月16日
• 20. 2変数関数と曲面：偏微分の変数変換公式
• 21: 最大最小の問題：停留点と極値
• 試験についての説明
• テキストにある問題(試験の範囲内・外の区別あり)： ここからダウンロード

この講義は終了しました。試験は，2月6日(水)1限です。