数理情報学II <基礎科学科3年>

シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである． 本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．数値的方法としては，おもに差分法を対象とする．
• 内容：
  1. 熱方程式
  2. 熱方程式の差分近似
  3. 差分法の誤差解析
  4. 熱方程式の差分近似（ノイマン境界条件など）
  5. 反応拡散系の差分近似
  6. 波動方程式の差分近似
  7. Poisson方程式の差分近似
  8. その他の方法
• 参考書：
  1. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．
  2. 田端正久：微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
  3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
  4. 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは1981年)．
• 成績評価：レポート

授業記録(配布物等)

• 第1回(10/17)
• 授業の説明（配布資料）
• 1. 熱方程式（初期値境界値問題，最大値原理，一意性，正値性の保存，Fourierの方法，解の構成）
• 第2回(10/24)
• 2. 熱方程式の差分近似
• (a)差分近似(前進差分，後退差分，中心差分，2階中心差分)
• (b)陽解法(陽的スキーム，\ell^\infty安定性，非負値性の保存)
• (c)単純陰解法(陰的スキーム，Banachの摂動定理，\ell^\infty安定性，正値性の保存)
• 配布資料
• 第3回(10/31)
• (c)の続き．補題3の証明
• (d)\theta法(陰的\thetaスキーム，\ell^\infty安定性，正値性の保存)
• (e)非斉次問題(陰的\thetaスキーム，\ell^\infty安定性，正値性の保存)
• (f)連立一次方程式の解法(三重対角行列のLU分解)
• 第4回(11/7)
• 3. 誤差解析
• (a)\ell^\infty解析(誤差の満たす差分方程式，残差の評価，誤差評価)
• 第5回(11/14)
• 休講
• 第6回(11/21)
• (b)\ell^2解析
• (c)数値例
• 配布資料
• 第7回(11/28)
• 4. Neumann境界条件
• 5. 反応拡散系
• (a)半線形拡散方程式（最大値原理，定常解，解の漸近挙動）
• 配布資料
• 第8回(12/5)
• (b)差分スキームと収束
• 6. 空間２変数の熱方程式
• (a)陽解法
• 配布資料
• 第9回(12/12)
• 休講
• 第10回(12/19)
• 6. 空間２次元の熱方程式
• (a)陽解法
• (b)ADI法（ADI法の導出）
• レポート問題
• 第11回(1/16)
• 急遽休講です．済みません．
• 第12回(1/23)
• 7. 波動方程式の差分近似
• 配布資料
• 第13回(1/30)
• 7. 波動方程式の差分近似

この講義は終了しました。