数理情報学II <基礎科学科3年>

シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである． 本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．数値的方法としては，おもに差分法を対象とする．
• 内容：
  1. 熱方程式
  2. 熱方程式の差分近似
  3. 熱方程式の差分近似（続き）
  4. 差分法の誤差解析
  5. 反応拡散系の差分近似
  6. 半線形熱方程式の解の峰数
  7. 半線形熱方程式の解の爆発
  8. 凝集現象と上流差分
  9. 波動方程式の差分近似
  10. Poisson方程式の差分近似
  11. その他の方法
• 参考書：
  1. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．
  2. 田端正久：微分方程式の数値解法II，岩波書店, 1990年．
  3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
  4. 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは1981年)．
• 成績評価：レポート

授業記録(配布物等)

• 第1回(10/18)：
• 授業の説明
• 現象と数理モデルおよび数値計算の意義
• 1. 熱方程式(a)初期値境界値問題（線形同次熱方程式，線形非同次熱方程式，変数係数熱方程式，非線型方程式，境界条件，初期値境界値問題，古典解の定義）
• (b)一意性と最大値原理（最大値原理，一意性定理，安定性，非負値性の保存，正値性の保存）
• 第2回(10/25)：
• (ｃ)解の存在とFourierの方法（Fourier級数）
• (ｄ)Duhamelの原理
• 2．熱方程式の差分近似(a)差分近似（前進差分商，後退差分商，中心差分商，2階中心差分商）
• 第3回(11/1)：
• 配布資料
• (b)陽解法（陽解法，最大値ノルム，行列ノルム，安定性と非負値性保存，数値例）
• (c)陰解法（陰解法，安定性と正値性保存）
• 第4回(11/8)：
• (d）\theta法
• (e)非斉次問題
• 3．差分法の誤差解析(a)\ell^\infty解析（誤差の表現，残差の評価，誤差評価）
• 第5回(11/15)：
• 配布資料
• (a)\ell^\infty解析（残差の評価，誤差評価のシナリオ）
• (b)\ell^2解析（離散ラプラシアンの固有値問題，スペクトル半径，行列の有理関数，安定性と誤差評価）
• 第6回(11/29)：
• 配布資料
• 4. 熱方程式の差分近似（つづき）(a)連立一次方程式の解法（狭義優対角行列，三重対角行列に対するLU分解）
• (b)Neumann境界条件（Neumann境界条件の近似，正値性の保存，\ell^\infty安定性）
• 第7回(12/6)：
• 配布資料
• (b)Neumann境界条件（\ell^\infty安定性の証明）
• 5. 反応拡散方程式：半線形熱方程式，定常解，解の漸近挙動，差分近似，差分解の安定性
• 第8回(12/13)：
• 配布資料
• 誤差評価，グレイ・スコットモデルの数値計算例
• 6. 爆発（a)半線形熱方程式の一般論，(b)解の爆発
• 第9回(12/20)：
• (b)解の爆発 (c)差分法
• 第10回(12/24)：
• (d)差分解の爆発，爆発時刻の近似
• 第11回(1/7)：
• 配布資料
• 7. 波動方程式の差分近似：(a)波動方程式（依存領域、フーリエ解析，差分法)
• 第12回(1/17)：
• (b)差分法の解析（離散フーリエ級数，安定性，誤差評価）
• 第13回(1/24)：
• レポート作成日（講義は休講）

この講義は終了しました。