2013年冬，月4(14:50-16:20), 16-119室

数理情報学 <統合自然科学科3年>

シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに差分法を取り上げる．
• 内容：
  1. 熱方程式
  2. 熱方程式の差分近似(陽的スキームと陰的スキーム)
  3. 熱方程式の差分近似(シータスキームと非斉次問題)
  4. 差分法の収束解析
  5. Neumann境界条件
  6. 半線形反応拡散方程式(1)解の漸近挙動
  7. 半線形反応拡散方程式(2)誤差解析
  8. 空間２次元の熱方程式
  9. ADI法
  10. ADI法の収束解析
  11. 波動方程式
  12. 波動方程式の差分法
  13. 数値計算（熱方程式）
  14. 数値計算（ADI法）
  15. その他の方法
• 参考書：
  1. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
  2. K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005.
  3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
  4. 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは1981年)．
• 成績評価：レポート

授業記録(配布物等)

• 第1回(10/7)
• 授業の説明（配布資料）
• 現象と数理
• 1. 熱方程式
• 第2回(10/15火)
• 2. 陽的差分スキーム（差分近似，陽的スキーム，安定性と非負値性保存）
• 第3回(10/21)
• 3. 陰的差分スキーム（単純陰的スキーム，陰的thetaスキーム，安定性と正値性保存，非斉次方程式）
• 第4回(10/28)
• 4. 収束解析と誤差評価（\ell^\infty解析）
• 第5回(11/5火)
• 4. 収束解析と誤差評価（\ell^2解析）
• Scilabによる熱方程式の数値計算
• 第6回(11/11)
• 休講
• 第7回(11/18)
• 5. Neumann境界条件
• 第8回(11/25)
• 6. 非線形問題
• 第9回(12/2)
• 7. 波動方程式の差分近似
• 第10回(12/9)
• 休講
• 第11回(12/16)
• 7. 波動方程式の差分近似
• 第12回(1/15水)
• 8. Poisson方程式の差分近似
• 第13回(1/20)
• 8. Poisson方程式の差分近似

この講義は終了しました。