計算数理II <数理128教室, 数学科4年>

数値解析学 <数理128教室, 大学院数理科学研究科>

シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．数値的方法としては，おもに差分法(finite difference method, FDM)と有限要素法(finite element method, FEM)を対象とする．
• キーワード
数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法
• 内容：
1. 熱方程式
2. 差分法
3. 差分法の収束解析
4. Neumann境界条件
5. 半線形反応拡散方程式
6. 変分原理
7. 有限要素法
8. 関数解析の準備
9. 弱解と正則性
10. 正則な三角形分割
11. 有限要素法の収束解析
12. FreeFem++による数値計算
13. Lax-Milgramの理論
14. Galerkin近似
15. 応用
• 参考書：
1. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
2. K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005.
3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
4. 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは 1981年)
5. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/10)
• 授業の説明（配布資料）
• 現象と数理モデルと数値解析
• 1. 熱方程式
• 第2回(4/17)
• 2. 陽的差分スキーム：(a)差分近似、(b)陽的スキーム
• 3. 陰的差分スキーム：(a)単純陰的スキーム
• 第3回(4/24)
• 3. 陰的差分スキーム：(b)陰的\thetaスキーム (c)非斉次方程式
• 第4回(5/8)
• 休講
• 第5回(5/15)
• 4. 差分解の収束：(a)\elll^\infty解析
• 第6回(5/22)
• 4. 差分解の収束：(b)\elll^2解析
• Scilabによる数値計算
• 第7回(5/29)
• 5. Neumann境界条件
• 6. 非線形問題（半線形反応拡散方程式の解の漸近挙動）
• 第8回(6/5)
• 6. 非線形問題（差分近似の安定性と収束）
• 7. 変分原理とPoisson方程式
• 第9回(6/12)
• 8. 有限要素法（三角形分割、区分的一次関数、有限要素近似）
• 9. 関数解析の準備（Sobolev空間、Sobolevの不等式、Poincareの不等式、Rellichの定理）
• 第10回(6/19)
• 9. 関数解析の準備（Poincare-Wirtingerの補題，Rieszの表現定理）
• 10. 弱解と正則性
• 第11回(6/26)
• 休講
• 第12回(7/3)
• 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差、三角形分割の正則性、Zlamalの最小角条件、大域的補間誤差）
• 第13回(7/10)
• 11.正則な三角形分割（局所補間誤差の証明）
• 12. 有限要素法の誤差解析
• 13. Lax-Milgramの理論
• 第14回(7/17)
• 13. Lax-Milgramの理論
• 14. Galerkin近似
• 15. 移流拡散方程式への応用
• 第15回(7/24)
• 16. Freefem++による数値計算