2013年夏, 木2, 10:40-12:10

計算数理II <数理128教室, 数学科4年>

数値解析学 <数理128教室, 大学院数理科学研究科>

シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．数値的方法としては，おもに差分法(finite difference method, FDM)と有限要素法(finite element method, FEM)を対象とする．
• キーワード
数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法
• 内容：
1. 熱方程式
2. 差分法
3. 差分法の収束解析
4. Neumann境界条件
5. 半線形反応拡散方程式
6. 変分原理
7. 有限要素法
8. 関数解析の準備
9. 弱解と正則性
10. 正則な三角形分割
11. 有限要素法の収束解析
12. FreeFem++による数値計算
13. Lax-Milgramの理論
14. Galerkin近似
15. 応用
• 参考書：
1. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
2. K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005.
3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
4. 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは 1981年)
5. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/11)
• 授業の説明（配布資料）
• 1. 熱方程式（熱方程式、境界条件，古典解，最大値ノルム，最大値の原理，非負値性の保存，正値性の保存）
• 第2回(4/18)
• 2. 陽的差分スキーム(a)差分近似、(b)陽的スキーム
• 第3回(4/25)
• 3. 陰的差分スキーム(a)単純陰的スキーム、(b)陰的\thetaスキーム
• 第4回(5/2)
• 3. 陰的差分スキーム(c)非斉次方程式(d)Scilabによる数値計算例
• 4. 収束と誤差評価(a)\ell^infty解析
• 第5回(5/9)
• (b)\ell^2解析
• 5. Neumann境界条件（スキームの導出）
• 第6回(5/16)
• 5. Neumann境界条件（安定性と正値性の保存）
• 6. 非線形問題（解の漸近挙動，陽的スキームの導出，安定性の証明）
• 第7回(5/23)
• 6. 非線形問題（誤差評価）
• 7. 変分原理（Poisson方程式，変分問題，Euler-Lagrange方程式，Dirichletの原理，Ritz近似，Galerkin近似）
• 第8回(5/30)
• 8. 有限要素法（三角形分割，P1要素）
• 9. 関数解析の準備（H^1空間，H^1_0空間，Lipschitz領域）
• 第9回(6/6)
• 9. 関数解析の準備（Poincare-Wirtingerの不等式，Sobolevの不等式，Rellichの定理、Rieszの表現定理）
• 10. 弱解と正則性（Poisson方程式の弱解，楕円型正則性）
• 第10回(6/13)
• 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差，三角形分割の正則性，最小角条件，大域的補間誤差，近似能力）
• 第11回(6/20)
• Lemma 11.1（局所的補間誤差）の証明．
• 第12回(6/27)
• 12. 有限要素法の誤差解析（収束性，H^1誤差評価，L^2誤差評価）
• 13. Lax-Milgramの理論（Lax-Milgramの定理）
• 第13回(7/4)
• 14. 応用：移流拡散方程式
• 第14回(7/11)
• 15. FreeFEM++による有限要素法の数値計算（FreeFem++の資料は「講義ノート」にあります。）
• レポート問題
• 第15回(7/18)
• 休講

この講義は終了しました。