2012年夏, 木2, 10:40-12:10
計算数理II <数理128教室, 数学科4年>
数値解析学 <数理128教室, 大学院数理科学研究科>
シラバス
- 授業の目標と概要：
コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．数値的方法としては，おもに差分法(finite difference method, FDM)と有限要素法(finite element method, FEM)を対象とする．
- 内容：
- 熱方程式
- 熱方程式の差分近似(陽的スキームと陰的スキーム)
- 熱方程式の差分近似(シータスキームと非斉次問題)
- 差分法の収束解析
- Neumann境界条件
- 半線形反応拡散方程式
- 変分原理と有限要素法
- Sobolev空間と弱形式
- 正則な三角形分割
- 有限要素法の収束解析
- 最大値原理
- FreeFem++による数値計算（基礎編）
- FreeFem++による数値計算（非線型問題）
- Lax-Milgramの理論
- Galerkin近似
- 参考書：
- 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．
- 田端正久：微分方程式の数値解法II，岩波書店, 1990年．
- G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations,
Oxford University Press, 1965.
- S. Larsson and V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2009.
- 成績評価：レポート
- 数理分類番号：551
授業記録(配布物等)
- 第1回(4/5)
- 授業の説明（配布資料）
- 数値解析の意義と役割
- I. 熱方程式に対する差分法
- 1. 熱方程式（初期値境界値問題，最大値原理と解の一意性，Fourierの方法と解の構成，Duhamelの原理）
- 第2回(4/19)
- 2. 熱方程式の差分近似：(a)差分近似，(b)陽的スキーム，(c)単純陰的スキーム
- 配布資料
- 第3回(4/26)
- 2. 熱方程式の差分近似：(d)陰的\thetaスキーム，(e)非斉次方程式，(f)連立一次方程式
- 配布資料
- 第4回(5/10)
- 3. 収束と誤差評価：(a)\ell^\infty誤差解析（誤差の表現，残差の評価，誤差評価）
- 配布資料
- 第5回(5/17)
- (b)\ell^2誤差解析（固有値問題）
- 4. Neumann境界条件
- 第6回(5/24)
- 5. 非線形拡散方程式（定常解，解の漸近挙動，差分法，安定性，収束）
- 第7回(5/31)
- II. 有限要素法と変分原理
- 6. 変分原理（Poisson方程式，変分原理，Ritsz近似，Galerkin近似）
- 7. 有限要素法（三角形分割，標準的基底）
- 第8回(6/7)
- 第9回(6/14)
- 8. Sobolev空間(H^1空間, H^1_0空間，トレース，
Poincareの不等式，Sobolevの不等式，Rellichの定理，Wirtingerの不等式)
- 第10回(6/21)
- 9. 弱解と正則性（Rieszの表現定理，弱形式，解の正則性，Galerkin近似，Galerkin直交性，Ceaの補題）
- 第11回(6/28)
- 10. 正則な三角形分割（局所的補間誤差，三角形分割の正則性，Zamalの最小角条件，大域的補間誤差，参照要素）
- 第12回(7/5)
- 10. 正則な三角形分割（局所的補間誤差定理の証明）
- 11. 有限要素法の誤差解析（収束性，H^1誤差評価，L^2誤差評価）
- レポート問題（締め切り：８月２９日）
- 第13回(7/12)
- 第14回(7/19)
この講義は終了しました。