計算数理II <数理128教室, 数学科4年>

数値解析学 <数理128教室, 大学院数理科学研究科>

シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．数値的方法としては，おもに差分法(finite difference method, FDM)と有限要素法(finite element method, FEM)を対象とする．
• 内容：
  1. 熱方程式と差分法
  2. Poisson方程式と有限要素法
  3. Lax-Milgramの定理とGalerkin法
  4. 初期値問題の有理関数近似
• 参考書：
  1. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．
  2. 田端正久：微分方程式の数値解法II，岩波書店, 1990年．
  3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
  4. S. Larsson and V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2009.
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/7)
• 授業の説明（配布資料）
• 数理モデルと数値解析の立場と役割
• I. 熱方程式と差分法
• 1. 熱方程式(線形・非線形の熱方程式，境界条件，初期値境界値問題，古典解，最大値原理，解の一意性，正値性の保存，Fourierの方法，解の存在)
• 第2回(4/14)
• 2. 熱方程式の差分近似：(a)差分近似，(b)陽解法，(c)陰解法
• 配布資料
• 第3回(4/21)
• (d)theta法，(e)非斉次問題，(f)連立一方程式の解法
• 3. 誤差解析: (a)\ell^\\infty解析（誤差ベクトルの表現と安定性．残差ベクトルの評価，誤算評価）
• 配布資料
• 第4回(4/28)
• (a)\ell^\infty解析（残差ベクトルの評価の証明），(b)\ell^2解析（固有値問題，スペクトル解析）
• 配布資料
• 第5回(5/12)
• 4. Neumann境界条件（差分格子，正値性の保存，\ell^\infty安定性）
• 5. 非線形拡散方程式（半線形反応拡散方程式，解の漸近挙動，差分法，数値例）
• 配布資料
• 第6回(5/19)
• 5. 非線形拡散方程式（差分法の安定性と収束．グレイ・スコットモデルの計算例）
• II. 変分原理と有限要素法
• 1. 変分原理(Poisson方程式，汎関数最小化問題，Euler-Lagrange方程式)
• 配布資料
• 第7回(5/26)
• 1. 変分原理(Ritz近似，Galerkin近似)
• 2. 有限要素法(三角形分割，有限要素近似)
• 3. Sobolev空間(C^k, L^2, H^1, H^2, H^1_0, Lipschitz領域)
• 配布資料
• 第8回(6/2)
• 3. Sobolev空間(Lipschitz領域，Sobolevの不等式，Poincareの不等式，Poincare-Wirtingerの不等式)
• 4. 弱解と正則性(Poisson方程式の弱解，正則性，Galerkin近似，Galerkin直交性，Ceaの補題)
• 第9回(6/9)
• 4. 正則な三角形分割(局所的補間誤差，三角形分割の正則性，最小角条件，大域的補間誤差，近似性)
• 第10回(6/16)
• 休講
• 第11回(6/23)
• 4. 正則な三角形分割(局所的補間誤差の証明)
• 5. 誤差解析（収束性，H^1誤差評価，L^2誤差評価）
• 第12回(6/30)
• FreeFem++の実演
• 半線形楕円型方程式の反復解法
• 第13回(7/7)
• III. 抽象的楕円型偏微分方程式とGalerkin近似
• 1. Lax-Milgramの理論
• 2. Galerkin近似
• レポート問題(Deadline: August 31)
• 第14回(7/14)
• 3. 応用：移流拡散方程式
• 第15回(7/21)
• 休講

この講義は終了しました。