計算数理II <数理118122教室, 数学科4年>

数値解析学 <数理118122教室, 大学院数理科学研究科>

シラバス

• 授業の目標と概要： 様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして、数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する。
• 内容：
  1. 熱方程式と差分法
  2. Poisson方程式と有限要素法
  3. Lax-Milgramの定理とGalerkin法
  4. 初期値問題の有理関数近似
• 参考書：
  1. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．
  2. 田端正久：微分方程式の数値解法II，岩波書店, 1990年．
  3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
  4. S. Larsson and V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2009.
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/8)：
• 授業の説明（配布資料）
• I. 熱方程式と差分法
• 1. 熱方程式（熱方程式，初期値境界値問題，最大値原理，$L^\infty$安定性，正値性保存，Fourierの方法，Duhamelの原理）
• 第2回(4/15)：
• 2. 熱方程式の差分近似：(a)差分近似（前進差分商，後退差分商，中心差分商，2階中心差分商），(b)陽解法（差分スキーム，安定性，非負値性の保存，行列のノルム），(c)陰解法（差分スキーム，安定性，正値性の保存）
• 配布資料
• 第3回(4/22)：
• 2. 熱方程式の差分近似：(d)$\theta$法，(e)非斉次問題
• 3. 誤差解析：(a)$\ell^\infty$解析
• 配布資料
• 第4回(5/6)：
• 3. 誤差解析：(a)$\ell^\infty$解析 (b) $\ell^2$解析
• 第5回(5/13)：
• 4. Neumann境界条件
• 5. 非線形問題：ロジスティック型半線形問題，解の漸近挙動，差分スキーム，安定性
• 配布資料
• 第6回(5/20)：
• 5. 非線形問題：誤差評価
• II. 変分原理と有限要素法
• 1. Dirichletの原理: Poisson方程式，汎関数最小化問題，停留条件とEulerの方程式，Dirichlet 原理，Ritzの方法とGalerkinの方法
• 第7回(5/27)：
• 2．有限要素法：三角形分割，区分一次要素，有限要素近似
• 3．Sobolev空間：L^2空間，H^1空間，H^1_0空間，Lipschitz領域，トレース定理，Sobolevの埋込定理
• 配布資料(グレイ・スコットモデルの数値計算例)
• 配布資料（三角形分割の例）
• 第8回(6/3)：
• 3．Sobolev空間：Poincareの不等式，Wirtingerの不等式
• 4．弱解と正則性：Poisson方程式の弱解，Rieszの表現定理，楕円型正則性，Galerkin近似，Galerkin直交性，Galerkin近似の最良性，Ceaの補題
• 第9回(6/10)：
• 5. 正則な三角形分割：局所的補間誤差，三角形分割の正則性，Zlamalの最小角条件，大域的補間誤差，区分的一次要素の近似能力
• 第10回(6/17)：
• 5．正則な三角形分割：局所的補間誤差の証明
• 6. 誤差解析：H^1誤差評価
• 第11回(6/24)：
• 6. 誤差解析：L^2誤差評価
• III. 抽象的楕円型問題
• 1. Lax-Milgramの定理：有界双線形形式、強圧性、縮小写像の原理
• 第12回(7/1)：
• 2. Galerkin近似：Galerkin直交性，Ceaの定理
• 3. 移流拡散方程式
• レポート問題
• 第13回(7/8)：
• freefem++の利用
• 第14回(7/15)：休講
• 第15回(7/22)：休講

この講義は終了しました。