計算数理II <2009年夏，水2(10:40-12:10) / 126教室 / 数学科4年>

数値解析学<2009年夏，水2(10:40-12:10) / 126教室 / 大学院数理科学研究科>

シラバス

• 授業の目標と概要： 様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして、数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する。
• 内容：
  1. 熱方程式に対する差分法
  2. 波動方程式に対する差分法
  3. Poisson方程式に対する差分法
  4. 有限要素法
  5. Lax-Milgramの定理
• 参考書：
  1. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年．
  2. 田端正久：微分方程式の数値解法II，岩波書店, 1990年．
  3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/8)：
• 授業の説明(ガイダンス資料)
• I. 熱方程式に対する差分法：
• 1. 熱方程式(初期値境界値問題，一意性と最大値原理，可解性とFourierの方法，Duhamelの原理)
• 第2回(4/15)：
• 2. 熱方程式の差分近似，(a)差分近似，(b)陽解法，(c)陰解法
• 配布資料
• 第3回(4/22)：
• 2. 熱方程式の差分近似(続き)，(d)$\theta$法，(e)非斉次問題
• 3. 誤差解析，(a)$\ell^\infty$解析
• 第4回(5/13)：
• 3. 誤差解析，(a)$\ell^\infty$解析(続き)，(b)$\ell^2$解析
• 配布資料
• 第5回(5/20)：
• II. 波動方程式に対する差分法：
• 1. 波動方程式(d'Alembertの解，Fourier級数，依存領域，影響領域，伝搬速度，差分法)
• 配布資料
• 第6回(5/27)：
• 2. 差分法の解析(離散Fourier級数，離散Parsevalの等式，安定性，誤差評価)
• 第7回(6/3)：
• III. Poisson方程式に対する差分法
• 1. Poisson方程式
• 2. 差分法：長方形領域の場合（差分近似，最大値原理，安定性と誤差評価）
• 第8回(6/10)：
• III. 3. 差分法(一般の領域の場合，連立一次方程式の反復解法)
• 第9回(6/17)：
• IV. 変分原理と有限要素法：
• 1. Dirichletの原理（Poisson方程式，汎関数最小化問題，停留条件とEuler方程式，Ritzの方法とGalerkinの方法）
• 2. 有限要素法(三角形分割，連続区分一次要素，有限要素近似)
• 配布資料
• 第10回(6/24)：
• 3. Sobolev空間(H^1(\Omega), H^1_0(\Omega), 稠密性，Sobolevの埋め込み定理，トレース定理)
• 4. 弱解と正則性(弱形式と弱解，Rieszの表現定理，弱解の正則性)
• 第11回(7/1)：
• 4. 弱解と正則性(Galerkin近似, Galerkin直交性, Gakerkin近似の最良性, Ceaの補題)
• 5. 正則な三角形分割(局所的補間誤差，Zlamalの最小角条件, 正則な三角形分割, 大域的補間誤差)
• 第12回(7/8)：
• 6. 有限要素法の誤差解析(H1誤差評価とL2誤差評価)
• freefem++による数値計算(資料は『講義ノート』の「有限要素法と非線形楕円型方程式の解の可視化」を見て下さい)
• レポート問題
• 第13回(7/15)：
• V. Lax-Milgramの定理
• Lax-Milgramの定理，変分原理，Galerkin近似，移流拡散方程式
• 第14回(7/22)：レポート作成日

この講義は終了しました。