計算数理I (数理117室 /　数学科３年)

数理情報学I (数理117室 /　基礎科学科３年)

シラバス

• 趣旨・内容：数値解析法の入門講義．非線形方程式，連立一次方程式，常微分方程式などの問題を， (コンピュータを用いて)数値的に解くための方法とその数学的理論を解説する． 具体的には，次の話題を扱う：
  1. 数値計算における誤差
  2. 連立一次方程式
  3. 非線形方程式
  4. 関数補間と数値積分
  5. 常微分方程式の初期値問題
  6. 共役勾配法
• 教科書・参考書：
  • 山本哲朗，数値解析入門，サイエンス社（初版1976年，第2版2006年）
  • 森正武，数値解析，共立出版(初版1973年，第2版2002年)
  • 皆本晃弥，C言語による数値計算入門，サイエンス社(2005年)
• 注意：
  • 偏微分方程式は扱わない(計算数理II，数理情報学II)．
  • 実際の数値計算には知識や論理のみでなく， 経験と勘も重要なので，計算数理演習または数理情報学I演習も併せて履修することが望ましい．
• 成績評価：レポートと期末試験
• 数理分類番号： 351

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/9)：
• 授業の説明（配布資料はCFIVEからダウンロードできます．ただし，演習受講者に限ります．）
• 0. 数値計算における誤差：浮動小数点数，丸め誤差，桁落ち，情報落ち，計算機イプシロン
• I. 連立一次方程式
• 0. 導入（代用電荷法，クラメールの公式，ガウスの消去法，二点境界値問題，Poisson方程式，大規模疎行列，線型反復法）
• 第2回(4/16)：
• 1. 行列の型（エルミート，一般化狭義優対角）
• 2. ノルム（ベクトルのノルム，行列のノルム，スペクトル半径）
• 第3回(4/23)：
• 2. ノルム（Banachの摂動定理）
• 3. 線形反復法（不動点形式，Jacobi法，Gauss-Seidel法，SOR法，収束定理）
• 第4回(5/7)：
• 4. Gaussの消去法（LU分解，部分ピボット選択）
• 5. 安定性（条件数）
• 第5回(5/14)：
• 5. 安定性（摂動定理，残差と誤差）
• II. 非線形方程式
• 1. 反復法の例（不動点形式，Newton法，緩和反復法）
• 2. 反復法の解析（縮小写像の原理とその系）
• 第6回(5/21)：
• 2. 反復法の解析（収束の速さ）
• 3. Newton法の解析
• 4. 代数方程式（複素Newton法，Durand-Kerner法）
• 第7回(5/28)：
• III. 関数補間と数値積分
• 1. Lagrange補間多項式（Lagrange補間多項式，Newtonの表現，誤差の表現）
• 2. Chebyshev多項式
• 3. Newton-Cotes積分公式
• 第8回(6/4)：
• 3. Newton-Cotes積分公式(台形則，Simpson則，中点則，複合公式)
• 4. 直交多項式（直交多項式系の存在，零点の分布）
• 第9回(6/11)：
• 5. Gauss型数値積分公式
• IV. 常微分方程式の初期値問題
• 1. 基本定理（解の一意存在，Lipschitz連続性）
• 2. 一段法（Euler法，一段法，局所誤差，大域誤差，離散化誤差）
• 第10回(6/18)：
• 2. 一段法（局所誤差の評価、整合性）
• 3. Runge-Kutta法（2ステージ公式の構成、修正Euler法、Heun法、sステージm次の陽的Runge-Kutta公式、４ステージ４次のRunge-Kutta公式）
• 第11回(6/25)：
• 4. RKF45公式
• 5. 連立微分方程式への応用
• 6. Adams型公式
• 第12回(7/2)：
• 6. Adams型公式（離散化誤差の評価）
• V. 共役勾配法
• 1. 直交残差アプローチ
• 2. 共役勾配法
• 第13回(7/9)：
• 2. 共役勾配法
• 3. 収束
• 第14回(7/16): 試験
• 試験範囲：第I章〜第V章(おもに演習問題から)
• 自筆のノートのみ持ち込み可（教科書，参考書，プリント，ノートのコピーは不可）
• 第15回(7/23)： 休講

この講義は終了しました。