計算数理I<2009年夏，金2(10:40-12:10) / 数理117室 /　数学科３年>

数理情報学I<2009年夏，金2(10:40-12:10) / 数理117室 /　基礎科学科３年>

シラバス

• 趣旨・内容：数値解析法の入門講義．非線形方程式，連立一次方程式，常微分方程式などの問題を， (コンピュータを用いて)数値的に解くための方法とその数学的理論を解説する． 具体的には，（順不同で）次の話題を扱う：
  1. 数値計算における誤差
  2. 連立一次方程式の直接解法
  3. 連立一次方程式の反復解法
  4. 非線形方程式
  5. Lagrange補間と数値積分
  6. Hermite補間と数値積分
  7. 常微分方程式の初期値問題
  8. 共役勾配法
• 教科書・参考書：
  • 山本哲朗，数値解析入門，サイエンス社（初版1976年，第2版2006年）
  • 森正武，数値解析，共立出版(初版1973年，第2版2002年)
  • 皆本晃弥，C言語による数値計算入門，サイエンス社(2005年)
• 注意：
  • 偏微分方程式は扱わない(計算数理II，数理情報学II)．
  • 実際の数値計算には知識や論理のみでなく， 経験と勘も重要なので，計算数理演習または数理情報学I演習も併せて履修することが望ましい．
• 成績評価：レポートと期末試験
• 数理分類番号： 351

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/10)：
• 講義の説明(ガイダンス資料)
• 配布資料
• I. 数値計算における誤差：丸め誤差（浮動小数点），桁落ち，情報落ち，計算機イプシロン
• II. 連立一次方程式に対する直接法：ポテンシャル問題と代用電荷法
• 第2回(4/17)：
• II. 連立一次方程式に対する直接法：1. Gaussの消去法(a)LU分解(b)連立一次方程式の解法(c)ピボット選択
• 第3回(4/24)：
• II. 1. Gaussの消去法(c)ピボット選択(続き)，2. ノルム(ベクトルノルム，行列ノルム，スペクトル半径)
• 第4回(5/8)：
• II. 2. ノルム(Banachの摂動定理)，3. 安定性解析(行列の条件数)
• III. 連立一次方程式に対する反復法：1. 線形反復法(Jacobi法，Gauss-Seidel法)
• 第5回(5/15)：
• III：1. 線形反復法(SOR法)，2. 収束(狭義優対角行列，Jacobi法，Gauss-Seidel法，SOR法の収束)
• IV. 非線形方程式：1. 反復法(Newton法，簡易Newton法，セカント法，線形逆反復法，数値例)
• 第6回(5/22)：
• IV：1. 反復法(多次元のNewton法)
• IV：2. 反復法の解析(縮小写像の原理，収束の速さ)
• 第7回(5/29)：
• IV：3. 一次元Newton反復法の解析，4. 多次元Newton法の解析
• V: Lagrange補間と数値積分：1. Lagrange補間多項式(誤差の表現，Newtonの補間公式)，2. Chebyshev多項式
• 配布資料
• 第8回(6/5)：
• V: 2. Chebyshev多項式(続き)、3. Newton-Cotes積分公式
• 第9回(6/12)：
• VI:Hermite補間と数値積分：1. Hermite補間多項式，2. 直交多項式, 3. Gauss型積分公式
• 配布資料
• 演習問題：前半， 後半とレポート問題
• 第10回(6/19)：
• VI: 3. Gauss型積分公式(精度，収束と誤差，係数と積分点の求め方)
• VII: 常微分方程式の初期値問題：1. 基本定理(Lipschitz連続性，解の一意存在など)，2. 一段法(Euler法，一段法の誤差，離散化誤差)
• 第11回(6/26)：
• VII: 2. 一段法(一段法の誤差，m次の公式，Euler法の誤差)，3. Runge-Kutta法の解析（2ステージ2次のRunge-Kutta公式の導出，sステージm次のRunge-Kutta公式）
• 配布資料
• 第12回(7/3)：
• VII: 4. 刻み幅の自動調節(RKF45公式)，5. Adams型公式(Adams-Bashforh公式とAdams-Moulton公式)
• VIII: 共役勾配法: 1. 直交残差法
• 第13回(7/10)：
• VIII: 1. 直交残差法（つづき），2．共役勾配法，3．収束
• 第14回(7/17): 試験
• 10:50--11:50
• 試験範囲：第I章〜第VIII章(おもに演習問題から)
• 自筆のノートのみ持ち込み可（教科書，参考書，プリント，ノートのコピーは不可）

この講義は終了しました。