計算数学II（本郷) <火1(8:30-10:00) / 理4-1220 / 物理学科・天文学科　３・４年>

シラバス

• 趣旨・内容：自然科学や社会科学に現れる数学的問題を， (コンピュータを用いて)数値的に解くための方法 とその数学的理論を解説する．具体的には，（順不同で）次の話題を扱う：
  1. 数値計算における誤差
  2. 非線型方程式
  3. 連立一次方程式
  4. 補間多項式
  5. 数値積分
  6. 常微分方程式
  7. （固有値問題）←時間があれば
• 成績評価：(学期途中の)レポート2回
• 教科書・参考書： 基本的には，次の本に沿って講義をします：
  • 山本哲朗，数値解析入門，サイエンス社（初版1976年，第2版2006年）
  次の本も参考にして下さい：
  • 森正武，数値解析，共立出版(初版1973年，第2版2002年)
  • 皆本晃弥，C言語による数値計算入門，サイエンス社(2005年)

授業記録(配布物等)

• 第1回：10月2日
• 授業の説明．出席の扱い（出席は毎回とるが，直接的には成績には反映しない）．成績評価方法（数値実験を含むレポート2回，期末試験），など．．．
• I. 数値計算における誤差．1．丸め誤差（浮動小数点数，相対誤差の上限），2．桁落ち（例など），3．打切り誤差
• 訂正．定理1の証明で，例1につられて変なことを言いました．次のように訂正してください（定理の主張，証明自体は間違っていません）：区間$[\beta^{q-1},\beta)$の長さは$(\beta - 1)\beta^{q-1}$で，この区間内に浮動小数点数が等間隔で$(\beta - 1)\beta^{n-1}$個入っている．したがって，この区間内では，浮動小数点数は，$\beta^{q-n}$の間隔でならんでいる．．．．．後は同じ．
• 第2回：10月9日
• II: 非線型方程式．1. 反復法（Newton法，簡易Newton法など），2．反復法の収束（Lipschitz連続性の導入，縮小写像の原理とその系），3．反復法の収束の速さ（p次収束の定義）
• 補足．黒板にはちゃんと書きませんでしたが，関数$g$が，Lipschitz条件（定理1の仮定(ii)）を満たすとき，$g$はLipschitz連続である，と言います．また，定義に出てくる$\lambda$をLipschitz係数と言います．特に，$(0\le )\lambda < 1$のとき，$g$を縮小写像と言います．
• 第3回：10月16日
• II: 非線型方程式（続き）．3．反復法の収束の速さ（Newton法の2次収束性，修正Ｎｅｗｔｏｎ法の導入），4．停止判定，5．加速法，6. 反復法の誤差解析（丸め誤差等の影響も考慮した誤差解析）
• 第4回：10月23日
• II: 非線型方程式（続き）．7. 多変数の場合（多変数のNewton法とその収束など），8．代数方程式（DK法の紹介とWilkinsonの例）
• 第5回：10月30日
• III: 連立一次方程式．1. 直接法．Gaussの消去法(LU分解，部分ピボット選択付きGaussの消去法など)，2. ベクトルと行列のノルム(ベクトルのノルム，ノルムの同値性)
• 第6回：11月6日
• III: 連立一次方程式．2. ベクトルと行列のノルム(行列のノルム，行列のノルムの表現，スペクトル半径，Oldenburgerの定理)，3．直接法の誤差解析（行列の条件数，係数の摂動，誤差と残差，条件数の概算についての補足）
• 第7回：11月13日
• III: 連立一次方程式．4. 反復法(Jacobi法，Gauss-Seidel法，SOR法)，5. 反復法の収束(収束定理，スペクトル半径と行列のノルムの関係，狭義優対角行列)，6. 共役勾配法(2次形式の最小化，CG法のアルゴリズム)
• 予告．来週(11/20)の授業の際，第1回レポート問題について指示をします．（締切：12月7日を予定）
• 第8回：11月20日
• III: 連立一次方程式．6. 共役勾配法(CG法の原理，収束定理，誤差評価)
• IV: 関数補間．1. 補間多項式，2. 補間公式(Lagrangeの補間，Newtonの補間，差分商)
• 第1回レポート:問題（ ここからダウンロード）（締切：12月7日）
• 第9回：11月27日
• IV: 関数補間. 3. 補間多項式の誤差，4. Hermite補間，5．直交多項式（直交多項式系，直交多項式の根の分布）
• 第1回レポート問題の訂正:問3におけるA_2の第3行目は[-1,1,2]でなく[5,7,-9]の間違いでした．訂正して下さい．（[-1,1,2]のままで解いてもレポートとして認めます．）
• 第10回：12月4日
• すいません．急遽，休講です（忌引きのため）．
• 第11回：12月11日
• V:数値積分．1．数値積分公式（m次の公式），2．Newton-Cotes公式（開型と閉型，中点則，台形則，Simpson則，誤差評価），3．複合公式（複合中点則，複合台形則，複合Simpson則，誤差評価），4．Gauss型積分公式（定義）
• 配布資料: 直交多項式の例とNewton-Cotes公式の数値例
• 第12回：12月18日
• 出張のため休講．
• 第13回：1月15日
• V:数値積分．4．Gauss型積分公式（誤差評価と収束についての注意）
• VI: 常微分方程式．1．基本定理（解の存在一意性，非一意性の例など），2．一段法(Euler法，一段法，離散化誤差などの定義，誤差評価)
• 第14回：1月22日
• VI: 常微分方程式．2. 一段法(誤差評価と例)，3．Runge-Kutta法の解析(2ステージ2次のRunge-Kutta法の導出，sステージm次のRunge-Kutta法，諸注意)
• 配布資料: Euler法，Runge-Kutta法，RKF45公式など
• 第2回レポート:問題（ ここからダウンロード）（締切：2月12日）
• 第15回：1月29日
• VI: 常微分方程式．4. 刻み幅の自動制御（RKF45公式），5．Adams型公式（Adams-Bashforth法，Adams-Moulton法，予備子修正子法，Runge-Kutta法との比較）

この講義は終了しました．