数理情報学

概要

• 開講時期： 2025年 Aセメスター
• 学部学科： 教養学部
• 担当：齊藤宣一（数理科学研究科）
• 曜日時間：木曜日・2限
• 場所：16-119室（しばしば情報教育棟を使う予定）
• 開講スケジュール： 10/2, 10/9, 10/16, 10/23, 10/30, 11/13, 11/20, 12/4, 12/11, 12/18, 12/25, 1/8, 1/15
• 成績評価方法：課題に対するレポート

講義の目標

様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な方程式としては，放物型偏微分方程式の代表として熱方程式と半線形反応拡散方程式，双曲型偏微分方程式の代表として移流方程式とHamilton--Jacobi方程式を扱う．また，近似解法としては，差分法（finite difference method）を取り上げる．さらに，適宜，計算実習を行う．

授業計画

• ガイダンス
• 空間1階の偏微分方程式
• 定数係数線形移流方程式に対する差分法
• 変数係数線形移流方程式に対する差分法
• 非線形保存則に対する差分法
• Hamilton-Jacobi方程式の差分法
• 計算実習

授業の方法

基本的には，教室で黒板を使って説明します．計算実習は，情報教育棟で行う予定です．

教科書・参考書

教科書は特に指定しません．参考書として，次を挙げておきます．

• M. Falcone and R. Ferretti, Semi-Lagrangian Approximation Schemes for Linear and Hamilton-Jacobi Equations, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2014
• M. G. Crandall and P. L. Lions, Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations, Math. Comp. Vol. 43, No. 167 (1984) 1--19.
• M. G. Crandall and A. Majda, Monotone difference approximations for scalar conservation laws, Math. Comp. Vol. 34, No. 149 (1980) 1--21.
• 齊藤宣一，偏微分方程式の計算数理，共立出版，2023年

計算実習の資料

• A. 移流方程式の差分解法
• B. 保存則とHamilton-Jabobi方程式の差分解法

履修上の注意

計算実習におけるサンプルプログラムは，Google colaboratoryを用いてPythonで作成する予定です．ネットワークに繋がる環境で受講できれば，計算環境を自分で整える必要はありません．個人所有のラップトップ棟を利用しても結構です．プログラミングについては，初歩的な部分からサンプルを示しますので，未経験でも問題はありません．

詳しいことは、UTOLでアナウンスします。