2019年度 Sセメスター

計算数理II（数学科4年）・数値解析学（大学院数理科学研究科）

• 担当：齊藤宣一（数理科学研究科）
• 曜日時間：木曜日・2限
• 場所：数理棟118室

講義資料

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シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに差分法と有限要素法を取り上げる．
• キーワード 数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法
• 内容：
1. 熱方程式
2. 陽的差分法
3. 陰的差分法
4. 収束と誤差解析
5. Neumann境界条件
6. 非線形問題
7. 変分原理とPoisson方程式
8. 有限要素法
9. 関数解析の準備
10. 弱解と正則性
11. 正則な三角形分割
12. 有限要素法の誤差解析
13. 半線形楕円型方程式
14. Lax-Milgramの理論
• 参考書：
  1. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
  2. 菊地文雄，齊藤宣一：数値解析の原理―現象の解明をめざして (岩波数学叢書)，岩波書店，2016年
  3. K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005.
  4. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
  5. D. Furihata and T. Matsuo: Discrete Variational Derivative Method: A Structure-Preserving Method for Partial Differential Equations, CRC Press, 2011.
  6. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録

• 第1回(4/11)
• 授業の説明
• General Information and Introduction
• 1. Heat equation
• 第2回(4/18)
• 2. Explicit finite difference scheme: 2.1. Finite difference quotients, 2.2. Explicit finite difference scheme, 2.3. Numerical examples
• 3. Implicit finite difference schemes: 3.1. Simple implicit scheme
• 第3回(4/25)
• 3. Implicit finite difference schemes: 3.2. Implicit $\theta$ scheme, 3.3. Inhomogeneous equations
• 4. Convergence and error estimates: 4.1. l^infty analysis
• 第4回(5/9)
• 4. Convergence and error estimates: 4.1. l^infty analysis, 4.2. l^2 analysis
• 5. Neumann boundary condition
• 第5回(5/16)
• Implementation of FDM for heat equations using MATLAB
• 6. Cahn-Hilliard equation: explicit scheme, free energy and boundedness of the solution, discrete variational derivative method
• 第6回(5/23)
• 6. Cahn-Hilliard equation: discrete variational derivative method, Furihata-Onda-Mori scheme
• 7. Variational formulation for the Poisson equation: Poisson equation, variational problem, Euler-Lagrange equation
• 第7回(5/30)
• 7. Variational formulation for the Poisson equation: Galerkin-Ritz approximation
• 8. Finite element approximation
• 9. Review of Functional Analysis: continuous functions, L^2 space, H^1 space
• 第8回(6/6)
• 9. Review of Functional Analysis: H^2 space, H^1_0 space, Lipschitz domain, C^0 domain, Density Lemma, Poincare's inequality, Sobolev inequality, Trace Theorem, a characterization of H^1_0 space, Poincare-Wirtinger's inenquality, Riesz's Representation Theorem
• 10. Weak solution and regularity: Poisson equation, weak formulation, weak solution, elliptic regularity
• 第9回(6/13)
• 10. Weak solution and regularity: Galerkin approximation
• 11. Shape-regularity of triangulations: local interpolation error, shape-regularity, global interpolation error
• 第10回(6/20)
• canceled
• 第11回(6/27)
• 12. Error analysis of the finite element method: convergence, H^1 error estimate, L^2 error estimate
• 第12回(7/4)
• 13. Freefem++
• 14. Lax-Milgram theory
• 第13回(7/11)