2019年度 Sセメスター

計算数理I（数学科3年）・計算数理（統合自然科学科3年）

• 担当：齊藤宣一（数理科学研究科）
• 曜日時間：金曜日・2限
• 場所：数理棟117室

講義資料

この講義で配布する資料はすべてITC-LMSからダウンロードできます。履修届け提出後に，履修する科目は自動的に受講登録されます。

シラバス

• 授業の目標・概要
線形代数学では、正則な行列を係数行列とする連立一次方程式は、一意な解を持ち、それはクラメールの公式を用いて表現できることを学んだ。しかし、もし、クラメールの公式をそのまま用いて、未知数が30個の連立一次方程式を解こうとすれば、現在利用できる最も速いスーパーコンピュータを用いても、100億年以上かかる見積もりになってしまい、現実的でない。一方、それをガウスの消去法で求めれば、手頃なラップトップ型パーソナルコンピュータを用いても、 1/100秒もかからない。このように、数学的に解が表現できる、あるいは解が存在するということと、実際に数値を得ることの間には、大きな溝があるのである。数学的な概念や方法を通じて、現実問題を研究する際には、当然、数値的な答えが要求される。そのような問題に対処するために、様々な数学的な概念を、具体的に数値を計算するという立場から研究する分野を数値解析と言う。本講義は、数値解析への入門を目的とし、1年および2年次に学んだ微分積分学や線形代数学に現れる諸問題、例えば、連立一次方程式、非線形方程式、定積分、常微分方程式などを、コンピュータを用いて数値的に解くための方法とその背景にある数学理論の解説を行う。

• キーワード 数値解析、連立方程式、非線型方程式、数値積分、常微分方程式
• 授業内容
  1. 数値計算と数学，計算機における数の表現
  2. 行列のノルム
  3. 非線形方程式：Newton法
  4. 非線形方程式：多変数Newton法と代数方程式
  5. 補間多項式と数値積分：Lagrange補間多項式とNewton-Cotes積分公式
  6. 補間多項式と数値積分：直交多項式とGauss型積分公式
  7. 常微分方程式：Euler法と一段法
  8. 常微分方程式：ルンゲ・クッタ法
  9. 常微分方程式：連立系への適用と刻み幅の自動調節
  10. 固有値問題：固有値の包み込みとRayleigh商
  11. 固有値問題：冪乗法，逆反復法，シフト法
  12. 連立一次方程式：共役勾配法
  13. 計算量と安定性
冊子体のシラバスと一部の内容の順番が変わっています．
• 参考書
  • 齊藤宣一：数値解析入門 （大学数学の入門9），東京大学出版会，2012年，3,150円
  • 齊藤宣一：数値解析 （共立講座数学探求），共立出版，2017年
  • A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio：Scientific Computing with MATLAB and Octave, 4th edit., Springer, 2014（加古孝，千葉文浩訳，MATLABとOctaveによる科学技術計算，丸善出版，2014年）
• 履修上の注意
• 計算数理演習を併せて履修することが望ましい．
• 本講義は，計算数理I（理学部数学科）と計算数理（教養学部統合自然科学科）の合同授業です．
• 成績評価
期末試験
• 数理分類番号
353

授業記録

• 第1回(4/5) 講義ガイダンス
• 講義の説明，資料のスライドはITC-LMSからダウンロードできます
• 数学と数値計算
• 計算機における数の表現
• 第2回(4/19) ノルム
• ベクトルノルムと行列ノルム
• 非線形方程式
• 不動点反復法，縮小写像の定理
• 第3回(4/26) 非線形方程式
• Newton法の収束，収束の速さ
• 多変数のNewton法
• 第4回(4/30火) 非線形方程式
• 多変数のNewton法
• 2変数のNewton法と複素Newton法
• 代数方程式の解法
関数補間
• Lagrange補間多項式
• 第5回(5/10) 数値積分
• 低次Newton-Cotes積分公式，複合Newton-Cotes積分公式と誤差評価
• 直交多項式
• 第6回(5/24)数値積分
• Gauss型積分公式とその収束
• 第7回(5/31)常微分方程式
• 常微分方程式の例，基本定理，Euler法，一段法
• 一段法の離散化誤差と収束
• 第8回(6/7)常微分方程式
• 2段数のRunge-Kutta法の構成
• 一般のRunge-Kutta法
• 連立微分方程式への適用
• 第9回(6/14)常微分方程式
• 刻み幅の自動調節（RKF45公式の紹介）
固有値問題
• Rayleigh商，Rayleighの定理，Katoの定理
• 第10回(6/21) 固有値問題
• Gershgorinの定理
• 冪乗法，逆冪乗
• 第11回(6/28) 共役勾配法
• 共役勾配法のアルゴリズム
• 第12回(7/5) 共役勾配法
• 共役勾配法の収束
安定性
• 連立一次方程式：解の安定性，条件数とBanachの摂動定理
• 第13回(7/12)
• 期末試験：7月26日（金）
• 場所：数理棟117室
• 試験範囲：1節～10節(安定性)
• 自筆のノートのみ持ち込み可（教科書，参考書，プリント，ノートのコピーは不可）

注意

統合自然科学科：5/17は休講．5/31は補講日．