計算数理II（数学科4年）・数値解析学（大学院数理科学研究科）

• 担当：齊藤宣一（数理科学研究科）
• 曜日時間：木曜日・2限
• 場所：数理棟126室

講義資料

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シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに差分法と有限要素法を取り上げる．
• キーワード 数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法
• 内容：
1. 熱方程式
2. 差分法
3. 差分法の収束解析
4. Neumann境界条件
5. 半線形反応拡散方程式
6. 変分原理
7. 有限要素法
8. 関数解析の準備
9. 弱解と正則性
10. 正則な三角形分割
11. 有限要素法の収束解析
12. FreeFem++による数値計算
13. Lax-Milgramの理論
• 参考書：
  1. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
  2. K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005.
  3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
  4. 菊地文雄，齊藤宣一：数値解析の原理―現象の解明をめざして (岩波数学叢書)，岩波書店，2016年
  5. 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは 1981年)
  6. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録

• 第1回(4/5)
• 授業の説明
• 1. 熱方程式（熱方程式，境界条件，初期条件，古典解，最大値の原理）
• 第2回(4/19)
• 2. 陽的差分スキーム（差分近似，陽的スキーム，数値例）
• 3. 陰的差分スキーム（単純陰的スキーム）
• 第3回(4/26)
• 3. 陰的差分スキーム（補題3.2の証明，陰的thetaスキーム，非斉次問題）
• Scilabによる熱方程式の差分解法
• 第4回(5/10)
• 4. 収束性と誤差評価（l^¥infty解，l^2解析）
• 第5回(5/17)
• 5. 非線形拡散方程式（解の漸近挙動，差分解の収束）
• 6. 補足（Neumann境界条件）
• 第6回(5/24)
• 7. Poisson方程式の変分法的な表現（Poisson方程式，Dirichletの原理，Ritz近似，Galerkin近似）
• 第7回(5/31)
• 8. 有限要素法（三角形分割，重心座標，区分一次要素）
• 9. 関数解析の準備（H^1空間，H^1_0空間，Lipschitz領域）
• 第8回(6/7)
• 9. 関数解析の準備（Rellichの定理，Sobolevの不等式，Poincareの不等式，Poincare-Wirtingerの不等式，トレース定理，H^1_0の特徴付け，Rieszの表現定理）
• 第9回(6/14)
• 10. 弱解と正則性（Poisson方程式の弱解，解の正則性，Galerkin近似，Galerkin直交性，Ceaの補題）
• 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差，分割の正則性，Zlamalの最小角条件，大域的補間誤差）
• 第10回(6/21)
• 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差の証明）
• 12. 有限要素法の誤差評価（収束性，H^1誤差評価，L^2誤差評価）
• 第11回(6/28)
• 休講
• 第12回(7/5)
• 13. Lax-Milgramの定理
• Freefem++による数値計算
• 第13回(7/12)
• 休講