2016年度 Sセメスター
計算数理II（数学科4年）・数値解析学（大学院数理科学研究科）
- 担当：齊藤宣一（数理科学研究科）
- 曜日時間：木曜日・2限
- 場所：数理棟122室
講義資料
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シラバス
- 授業の目標と概要：
コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに差分法と有限要素法を取り上げる．
- キーワード
数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法
- 内容：
- 熱方程式
- 差分法
- 差分法の収束解析
- Neumann境界条件
- 半線形反応拡散方程式
- 変分原理
- 有限要素法
- 関数解析の準備
- 弱解と正則性
- 正則な三角形分割
- 有限要素法の収束解析
- FreeFem++による数値計算
- Lax-Milgramの理論
- Galerkin近似
- 参考書：
- 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
- K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial
Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005.
- G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations,
Oxford University Press, 1965.
- 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは
1981年)
- 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年
- 成績評価：レポート
- 数理分類番号：551
授業記録(配布物等)
- 第1回(4/7)
- 授業の説明
- 1. 熱方程式（熱方程式，境界条件，初期条件，古典解，最大値の原理）
- 第2回(4/14)
- 2. 陽的差分スキーム（差分近似，陽的スキーム，数値例）
- 3. 陰的差分スキーム（単純陰的スキーム）
- 第3回(4/21)
- 3. 陰的差分スキーム（陰的thetaスキーム，非斉次問題）
- 4. 収束性と誤差評価
- 第4回(4/28)
- 第5回(5/12)
- 5. 非線形拡散方程式
- 6. 補足：6.1 非斉次Dirichlet境界条件
- 第6回(5/19)
- 6.2 Neumann境界条件
- 7. Poisson方程式の変分法的な表現（Poisson方程式，Dirichletの原理）
- 第7回(5/26)
- 7. Poisson方程式の変分法的な表現（Ritz近似，Galerkin近似）
- 8. 有限要素法（三角形分割，重心座標，区分一次要素）
- 第8回(6/2)
- 9. 関数解析の準備（Rellichの定理，Sobolevの不等式，Poincareの不等式，Poincare-Wirtingerの不等式，トレース定理，H^1_0の特徴付け，Rieszの表現定理）
- 第9回(6/9)
- 10. 弱解と正則性（Poisson方程式の弱解，解の正則性，Galerkin近似，Galerkin直交性，Ceaの補題）
- 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差，分割の正則性，Zlamalの最小角条件，大域的補間誤差）
- 第10回(6/16)
- 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差の証明）
- 12. 有限要素法の誤差評価（収束性，H^1誤差評価，L^2誤差評価）
- 第11回(6/23)
- 第12回(6/30)
- 13. Lax-Milgramの定理
- Freefem++による数値計算
- 第13回(7/7)
この講義は終了しました．