計算数理II（数学科4年）・数値解析学（大学院数理科学研究科）

• 担当：齊藤宣一（数理科学研究科）
• 曜日時間：木曜日・2限
• 場所：数理棟118室

シラバス

• 授業の目標と概要： コンピュータを用いた数値的解析方法は，理工学を超えて，生命科学，臨床医学，金融商品研究などにまで応用範囲を拡げ，幅広く有益な知見をもたらしている．そして，複雑かつ大規模な問題のコンピュータによるシミュレーションが可能になり，実行されるにつれ，それに関わる数学的諸問題の解決への要請は強くなる．実際，シミュレーションは，コンピュータの内部で完結するものではなく，現象のモデル（微分方程式など）化，モデルの数学解析，近似と離散化，アルゴリズムの実装とプログラムの作成，データの可視化，現実データとの照らし合わせ，信頼性の検証などの一連の過程であり，それらが数理という幹で強く繋がっているのである．本講義で扱うのは，上記の「近似と離散化」の部分である．すなわち，様々な物理現象の記述に現れる偏微分方程式を対象にして，数値的方法に基づく近似解法とその数学理論の概要を解説する．なお，具体的な近似方法としては，おもに差分法と有限要素法を取り上げる．
• キーワード
数値解析、偏微分方程式、差分法、有限要素法
• 内容：
1. 熱方程式
2. 差分法
3. 差分法の収束解析
4. Neumann境界条件
5. 半線形反応拡散方程式
6. 変分原理
7. 有限要素法
8. 関数解析の準備
9. 弱解と正則性
10. 正則な三角形分割
11. 有限要素法の収束解析
12. FreeFem++による数値計算
13. Lax-Milgramの理論
14. Galerkin近似
• 参考書：
1. 田端正久：偏微分方程式の数値解析，岩波書店, 2010年．
2. K. W. Morton and D. F. Mayers: Numerical Solution of Partial Differential Equations (2nd ed.), Cambridge University Press, 2005.
3. G. D. Smith: Numerical Solution of Partial Differential Equations, Oxford University Press, 1965.
4. 山口昌哉(編)：数値解析と非線形現象，日本評論社，1996年(オリジナルは 1981年)
5. 菊地文雄・山本昌宏：微分方程式と計算機演習，山海堂, 1991年
• 成績評価：レポート
• 数理分類番号：551

授業記録(配布物等)

• 第1回(4/9)
• 授業の説明（配布資料）
• General Information and Introduction
• 数理モデルと数値解析
• 1. 熱方程式
• 第2回(4/16)
• 2. 陽的差分スキーム：2.1 差分商，2.2 陽的スキーム，2.3 数値例
• 3. 陰的差分スキーム：3.1 単純陰的スキーム
• 配布資料
• 第3回(4/23)
• 3. 陰的差分スキーム：3.2 陰的thetaスキーム，3.3 非斉次方程式
• Scilabによる熱方程式の差分解法（配布資料）
• 第4回(4/30)
• 4. 収束と誤差解析：4.1 l^\infty解析，4.2 l^2解析
• 第5回(5/14)
• 5. 非線形拡散方程式
• 6. 補足：6.1 非斉次Dirichlet境界条件
• 第6回(5/21)
• 6.2 Neumann境界条件
• 7. Poisson方程式の変分法的な表現：Poisson方程式，Dirichletの原理，Ritz近似，Galerkin近似
• 第7回(5/28)
• 8. 有限要素法（三角形分割，重心座標，区分一次要素）
• 9. 関数解析の準備（関数空間，Lipschitz領域）
• 第8回(6/4)
• 9. 関数解析の準備（Rellichの定理，Sobolevの不等式，Poincareの不等式，Poincare-Wirtingerの不等式，トレース定理，H^1_0の特徴付け，Rieszの表現定理）
• 10. 弱解と正則性（Poisson方程式の弱形式，楕円型正則性）
• 第9回(6/11)
• 休講
• 第10回(6/18)
• 10. 弱解と正則性（Galerkin近似，Galerkin直交性，Ceaの補題）
• 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差，分割の正則性，Zlamalの最小角条件，大域的補間誤差）
• レポート問題
• 第11回(6/25)
• 11. 正則な三角形分割（局所補間誤差評価の証明）
• 12. 有限要素法の誤差評価（収束性，H^1誤差評価，L^2誤差評価）
• 13. Freefem++による数値計算（の予告）
• 14. Lax-Milgramの理論（有界な双線形形式，強圧性，Lax-Milgramの定理）
• 第12回(7/2)
• 14. Lax-Milgramの理論（定理の証明）
• 15. Galerkin近似（Galerkin直交性，Ceaの補題）
• 16. 応用（移流拡散方程式）
• 第13回(7/9)
• 休講

この講義は終了しました．